moduli.c

   1 /* $OpenBSD: moduli.c,v 1.16 2006/07/26 13:57:17 stevesk Exp $ */
   2 /*
   3  * Copyright 1994 Phil Karn <karn@qualcomm.com>
   4  * Copyright 1996-1998, 2003 William Allen Simpson <wsimpson@greendragon.com>
   5  * Copyright 2000 Niels Provos <provos@citi.umich.edu>
   6  * All rights reserved.
   7  *
   8  * Redistribution and use in source and binary forms, with or without
   9  * modification, are permitted provided that the following conditions
  10  * are met:
  11  * 1. Redistributions of source code must retain the above copyright
  12  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer.
  13  * 2. Redistributions in binary form must reproduce the above copyright
  14  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer in the
  15  *    documentation and/or other materials provided with the distribution.
  16  *
  17  * THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE AUTHOR ``AS IS'' AND ANY EXPRESS OR
  18  * IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES
  19  * OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED.
  20  * IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT,
  21  * INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT
  22  * NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE,
  23  * DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY
  24  * THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
  25  * (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF
  26  * THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
  27  */
  28
  29 /*
  30  * Two-step process to generate safe primes for DHGEX
  31  *
  32  *  Sieve candidates for "safe" primes,
  33  *  suitable for use as Diffie-Hellman moduli;
  34  *  that is, where q = (p-1)/2 is also prime.
  35  *
  36  * First step: generate candidate primes (memory intensive)
  37  * Second step: test primes' safety (processor intensive)
  38  */
  39
  40 #include "includes.h"
  41
  42 #include <sys/types.h>
  43
  44 #include <openssl/bn.h>
  45
  46 #include <stdlib.h>
  47 #include <string.h>
  48 #include <time.h>
  49
  50 #include "xmalloc.h"
  51 #include "log.h"
  52
  53 /*
  54  * File output defines
  55  */
  56
  57 /* need line long enough for largest moduli plus headers */
  58 #define QLINESIZE               (100+8192)
  59
  60 /* Type: decimal.
  61  * Specifies the internal structure of the prime modulus.
  62  */
  63 #define QTYPE_UNKNOWN           (0)
  64 #define QTYPE_UNSTRUCTURED      (1)
  65 #define QTYPE_SAFE              (2)
  66 #define QTYPE_SCHNORR           (3)
  67 #define QTYPE_SOPHIE_GERMAIN    (4)
  68 #define QTYPE_STRONG            (5)
  69
  70 /* Tests: decimal (bit field).
  71  * Specifies the methods used in checking for primality.
  72  * Usually, more than one test is used.
  73  */
  74 #define QTEST_UNTESTED          (0x00)
  75 #define QTEST_COMPOSITE         (0x01)
  76 #define QTEST_SIEVE             (0x02)
  77 #define QTEST_MILLER_RABIN      (0x04)
  78 #define QTEST_JACOBI            (0x08)
  79 #define QTEST_ELLIPTIC          (0x10)
  80
  81 /*
  82  * Size: decimal.
  83  * Specifies the number of the most significant bit (0 to M).
  84  * WARNING: internally, usually 1 to N.
  85  */
  86 #define QSIZE_MINIMUM           (511)
  87
  88 /*
  89  * Prime sieving defines
  90  */
  91
  92 /* Constant: assuming 8 bit bytes and 32 bit words */
  93 #define SHIFT_BIT       (3)
  94 #define SHIFT_BYTE      (2)
  95 #define SHIFT_WORD      (SHIFT_BIT+SHIFT_BYTE)
  96 #define SHIFT_MEGABYTE  (20)
  97 #define SHIFT_MEGAWORD  (SHIFT_MEGABYTE-SHIFT_BYTE)
  98
  99 /*
 100  * Using virtual memory can cause thrashing.  This should be the largest
 101  * number that is supported without a large amount of disk activity --
 102  * that would increase the run time from hours to days or weeks!
 103  */
 104 #define LARGE_MINIMUM   (8UL)   /* megabytes */
 105
 106 /*
 107  * Do not increase this number beyond the unsigned integer bit size.
 108  * Due to a multiple of 4, it must be LESS than 128 (yielding 2**30 bits).
 109  */
 110 #define LARGE_MAXIMUM   (127UL) /* megabytes */
 111
 112 /*
 113  * Constant: when used with 32-bit integers, the largest sieve prime
 114  * has to be less than 2**32.
 115  */
 116 #define SMALL_MAXIMUM   (0xffffffffUL)
 117
 118 /* Constant: can sieve all primes less than 2**32, as 65537**2 > 2**32-1. */
 119 #define TINY_NUMBER     (1UL<<16)
 120
 121 /* Ensure enough bit space for testing 2*q. */
 122 #define TEST_MAXIMUM    (1UL<<16)
 123 #define TEST_MINIMUM    (QSIZE_MINIMUM + 1)
 124 /* real TEST_MINIMUM    (1UL << (SHIFT_WORD - TEST_POWER)) */
 125 #define TEST_POWER      (3)     /* 2**n, n < SHIFT_WORD */
 126
 127 /* bit operations on 32-bit words */
 128 #define BIT_CLEAR(a,n)  ((a)[(n)>>SHIFT_WORD] &= ~(1L << ((n) & 31)))
 129 #define BIT_SET(a,n)    ((a)[(n)>>SHIFT_WORD] |= (1L << ((n) & 31)))
 130 #define BIT_TEST(a,n)   ((a)[(n)>>SHIFT_WORD] & (1L << ((n) & 31)))
 131
 132 /*
 133  * Prime testing defines
 134  */
 135
 136 /* Minimum number of primality tests to perform */
 137 #define TRIAL_MINIMUM   (4)
 138
 139 /*
 140  * Sieving data (XXX - move to struct)
 141  */
 142
 143 /* sieve 2**16 */
 144 static u_int32_t *TinySieve, tinybits;
 145
 146 /* sieve 2**30 in 2**16 parts */
 147 static u_int32_t *SmallSieve, smallbits, smallbase;
 148
 149 /* sieve relative to the initial value */
 150 static u_int32_t *LargeSieve, largewords, largetries, largenumbers;
 151 static u_int32_t largebits, largememory;        /* megabytes */
 152 static BIGNUM *largebase;
 153
 154 int gen_candidates(FILE *, u_int32_t, u_int32_t, BIGNUM *);
 155 int prime_test(FILE *, FILE *, u_int32_t, u_int32_t);
 156
 157 /*
 158  * print moduli out in consistent form,
 159  */
 160 static int
 161 qfileout(FILE * ofile, u_int32_t otype, u_int32_t otests, u_int32_t otries,
 162     u_int32_t osize, u_int32_t ogenerator, BIGNUM * omodulus)
 163 {
 164         struct tm *gtm;
 165         time_t time_now;
 166         int res;
 167
 168         time(&time_now);
 169         gtm = gmtime(&time_now);
 170
 171         res = fprintf(ofile, "%04d%02d%02d%02d%02d%02d %u %u %u %u %x ",
 172             gtm->tm_year + 1900, gtm->tm_mon + 1, gtm->tm_mday,
 173             gtm->tm_hour, gtm->tm_min, gtm->tm_sec,
 174             otype, otests, otries, osize, ogenerator);
 175
 176         if (res < 0)
 177                 return (-1);
 178
 179         if (BN_print_fp(ofile, omodulus) < 1)
 180                 return (-1);
 181
 182         res = fprintf(ofile, "\n");
 183         fflush(ofile);
 184
 185         return (res > 0 ? 0 : -1);
 186 }
 187
 188
 189 /*
 190  ** Sieve p's and q's with small factors
 191  */
 192 static void
 193 sieve_large(u_int32_t s)
 194 {
 195         u_int32_t r, u;
 196
 197         debug3("sieve_large %u", s);
 198         largetries++;
 199         /* r = largebase mod s */
 200         r = BN_mod_word(largebase, s);
 201         if (r == 0)
 202                 u = 0; /* s divides into largebase exactly */
 203         else
 204                 u = s - r; /* largebase+u is first entry divisible by s */
 205
 206         if (u < largebits * 2) {
 207                 /*
 208                  * The sieve omits p's and q's divisible by 2, so ensure that
 209                  * largebase+u is odd. Then, step through the sieve in
 210                  * increments of 2*s
 211                  */
 212                 if (u & 0x1)
 213                         u += s; /* Make largebase+u odd, and u even */
 214
 215                 /* Mark all multiples of 2*s */
 216                 for (u /= 2; u < largebits; u += s)
 217                         BIT_SET(LargeSieve, u);
 218         }
 219
 220         /* r = p mod s */
 221         r = (2 * r + 1) % s;
 222         if (r == 0)
 223                 u = 0; /* s divides p exactly */
 224         else
 225                 u = s - r; /* p+u is first entry divisible by s */
 226
 227         if (u < largebits * 4) {
 228                 /*
 229                  * The sieve omits p's divisible by 4, so ensure that
 230                  * largebase+u is not. Then, step through the sieve in
 231                  * increments of 4*s
 232                  */
 233                 while (u & 0x3) {
 234                         if (SMALL_MAXIMUM - u < s)
 235                                 return;
 236                         u += s;
 237                 }
 238
 239                 /* Mark all multiples of 4*s */
 240                 for (u /= 4; u < largebits; u += s)
 241                         BIT_SET(LargeSieve, u);
 242         }
 243 }
 244
 245 /*
 246  * list candidates for Sophie-Germain primes (where q = (p-1)/2)
 247  * to standard output.
 248  * The list is checked against small known primes (less than 2**30).
 249  */
 250 int
 251 gen_candidates(FILE *out, u_int32_t memory, u_int32_t power, BIGNUM *start)
 252 {
 253         BIGNUM *q;
 254         u_int32_t j, r, s, t;
 255         u_int32_t smallwords = TINY_NUMBER >> 6;
 256         u_int32_t tinywords = TINY_NUMBER >> 6;
 257         time_t time_start, time_stop;
 258         u_int32_t i;
 259         int ret = 0;
 260
 261         largememory = memory;
 262
 263         if (memory != 0 &&
 264             (memory < LARGE_MINIMUM || memory > LARGE_MAXIMUM)) {
 265                 error("Invalid memory amount (min %ld, max %ld)",
 266                     LARGE_MINIMUM, LARGE_MAXIMUM);
 267                 return (-1);
 268         }
 269
 270         /*
 271          * Set power to the length in bits of the prime to be generated.
 272          * This is changed to 1 less than the desired safe prime moduli p.
 273          */
 274         if (power > TEST_MAXIMUM) {
 275                 error("Too many bits: %u > %lu", power, TEST_MAXIMUM);
 276                 return (-1);
 277         } else if (power < TEST_MINIMUM) {
 278                 error("Too few bits: %u < %u", power, TEST_MINIMUM);
 279                 return (-1);
 280         }
 281         power--; /* decrement before squaring */
 282
 283         /*
 284          * The density of ordinary primes is on the order of 1/bits, so the
 285          * density of safe primes should be about (1/bits)**2. Set test range
 286          * to something well above bits**2 to be reasonably sure (but not
 287          * guaranteed) of catching at least one safe prime.
 288          */
 289         largewords = ((power * power) >> (SHIFT_WORD - TEST_POWER));
 290
 291         /*
 292          * Need idea of how much memory is available. We don't have to use all
 293          * of it.
 294          */
 295         if (largememory > LARGE_MAXIMUM) {
 296                 logit("Limited memory: %u MB; limit %lu MB",
 297                     largememory, LARGE_MAXIMUM);
 298                 largememory = LARGE_MAXIMUM;
 299         }
 300
 301         if (largewords <= (largememory << SHIFT_MEGAWORD)) {
 302                 logit("Increased memory: %u MB; need %u bytes",
 303                     largememory, (largewords << SHIFT_BYTE));
 304                 largewords = (largememory << SHIFT_MEGAWORD);
 305         } else if (largememory > 0) {
 306                 logit("Decreased memory: %u MB; want %u bytes",
 307                     largememory, (largewords << SHIFT_BYTE));
 308                 largewords = (largememory << SHIFT_MEGAWORD);
 309         }
 310
 311         TinySieve = xcalloc(tinywords, sizeof(u_int32_t));
 312         tinybits = tinywords << SHIFT_WORD;
 313
 314         SmallSieve = xcalloc(smallwords, sizeof(u_int32_t));
 315         smallbits = smallwords << SHIFT_WORD;
 316
 317         /*
 318          * dynamically determine available memory
 319          */
 320         while ((LargeSieve = calloc(largewords, sizeof(u_int32_t))) == NULL)
 321                 largewords -= (1L << (SHIFT_MEGAWORD - 2)); /* 1/4 MB chunks */
 322
 323         largebits = largewords << SHIFT_WORD;
 324         largenumbers = largebits * 2;   /* even numbers excluded */
 325
 326         /* validation check: count the number of primes tried */
 327         largetries = 0;
 328         q = BN_new();
 329
 330         /*
 331          * Generate random starting point for subprime search, or use
 332          * specified parameter.
 333          */
 334         largebase = BN_new();
 335         if (start == NULL)
 336                 BN_rand(largebase, power, 1, 1);
 337         else
 338                 BN_copy(largebase, start);
 339
 340         /* ensure odd */
 341         BN_set_bit(largebase, 0);
 342
 343         time(&time_start);
 344
 345         logit("%.24s Sieve next %u plus %u-bit", ctime(&time_start),
 346             largenumbers, power);
 347         debug2("start point: 0x%s", BN_bn2hex(largebase));
 348
 349         /*
 350          * TinySieve
 351          */
 352         for (i = 0; i < tinybits; i++) {
 353                 if (BIT_TEST(TinySieve, i))
 354                         continue; /* 2*i+3 is composite */
 355
 356                 /* The next tiny prime */
 357                 t = 2 * i + 3;
 358
 359                 /* Mark all multiples of t */
 360                 for (j = i + t; j < tinybits; j += t)
 361                         BIT_SET(TinySieve, j);
 362
 363                 sieve_large(t);
 364         }
 365
 366         /*
 367          * Start the small block search at the next possible prime. To avoid
 368          * fencepost errors, the last pass is skipped.
 369          */
 370         for (smallbase = TINY_NUMBER + 3;
 371             smallbase < (SMALL_MAXIMUM - TINY_NUMBER);
 372             smallbase += TINY_NUMBER) {
 373                 for (i = 0; i < tinybits; i++) {
 374                         if (BIT_TEST(TinySieve, i))
 375                                 continue; /* 2*i+3 is composite */
 376
 377                         /* The next tiny prime */
 378                         t = 2 * i + 3;
 379                         r = smallbase % t;
 380
 381                         if (r == 0) {
 382                                 s = 0; /* t divides into smallbase exactly */
 383                         } else {
 384                                 /* smallbase+s is first entry divisible by t */
 385                                 s = t - r;
 386                         }
 387
 388                         /*
 389                          * The sieve omits even numbers, so ensure that
 390                          * smallbase+s is odd. Then, step through the sieve
 391                          * in increments of 2*t
 392                          */
 393                         if (s & 1)
 394                                 s += t; /* Make smallbase+s odd, and s even */
 395
 396                         /* Mark all multiples of 2*t */
 397                         for (s /= 2; s < smallbits; s += t)
 398                                 BIT_SET(SmallSieve, s);
 399                 }
 400
 401                 /*
 402                  * SmallSieve
 403                  */
 404                 for (i = 0; i < smallbits; i++) {
 405                         if (BIT_TEST(SmallSieve, i))
 406                                 continue; /* 2*i+smallbase is composite */
 407
 408                         /* The next small prime */
 409                         sieve_large((2 * i) + smallbase);
 410                 }
 411
 412                 memset(SmallSieve, 0, smallwords << SHIFT_BYTE);
 413         }
 414
 415         time(&time_stop);
 416
 417         logit("%.24s Sieved with %u small primes in %ld seconds",
 418             ctime(&time_stop), largetries, (long) (time_stop - time_start));
 419
 420         for (j = r = 0; j < largebits; j++) {
 421                 if (BIT_TEST(LargeSieve, j))
 422                         continue; /* Definitely composite, skip */
 423
 424                 debug2("test q = largebase+%u", 2 * j);
 425                 BN_set_word(q, 2 * j);
 426                 BN_add(q, q, largebase);
 427                 if (qfileout(out, QTYPE_SOPHIE_GERMAIN, QTEST_SIEVE,
 428                     largetries, (power - 1) /* MSB */, (0), q) == -1) {
 429                         ret = -1;
 430                         break;
 431                 }
 432
 433                 r++; /* count q */
 434         }
 435
 436         time(&time_stop);
 437
 438         xfree(LargeSieve);
 439         xfree(SmallSieve);
 440         xfree(TinySieve);
 441
 442         logit("%.24s Found %u candidates", ctime(&time_stop), r);
 443
 444         return (ret);
 445 }
 446
 447 /*
 448  * perform a Miller-Rabin primality test
 449  * on the list of candidates
 450  * (checking both q and p)
 451  * The result is a list of so-call "safe" primes
 452  */
 453 int
 454 prime_test(FILE *in, FILE *out, u_int32_t trials, u_int32_t generator_wanted)
 455 {
 456         BIGNUM *q, *p, *a;
 457         BN_CTX *ctx;
 458         char *cp, *lp;
 459         u_int32_t count_in = 0, count_out = 0, count_possible = 0;
 460         u_int32_t generator_known, in_tests, in_tries, in_type, in_size;
 461         time_t time_start, time_stop;
 462         int res;
 463
 464         if (trials < TRIAL_MINIMUM) {
 465                 error("Minimum primality trials is %d", TRIAL_MINIMUM);
 466                 return (-1);
 467         }
 468
 469         time(&time_start);
 470
 471         p = BN_new();
 472         q = BN_new();
 473         ctx = BN_CTX_new();
 474
 475         debug2("%.24s Final %u Miller-Rabin trials (%x generator)",
 476             ctime(&time_start), trials, generator_wanted);
 477
 478         res = 0;
 479         lp = xmalloc(QLINESIZE + 1);
 480         while (fgets(lp, QLINESIZE, in) != NULL) {
 481                 int ll = strlen(lp);
 482
 483                 count_in++;
 484                 if (ll < 14 || *lp == '!' || *lp == '#') {
 485                         debug2("%10u: comment or short line", count_in);
 486                         continue;
 487                 }
 488
 489                 /* XXX - fragile parser */
 490                 /* time */
 491                 cp = &lp[14];   /* (skip) */
 492
 493                 /* type */
 494                 in_type = strtoul(cp, &cp, 10);
 495
 496                 /* tests */
 497                 in_tests = strtoul(cp, &cp, 10);
 498
 499                 if (in_tests & QTEST_COMPOSITE) {
 500                         debug2("%10u: known composite", count_in);
 501                         continue;
 502                 }
 503
 504                 /* tries */
 505                 in_tries = strtoul(cp, &cp, 10);
 506
 507                 /* size (most significant bit) */
 508                 in_size = strtoul(cp, &cp, 10);
 509
 510                 /* generator (hex) */
 511                 generator_known = strtoul(cp, &cp, 16);
 512
 513                 /* Skip white space */
 514                 cp += strspn(cp, " ");
 515
 516                 /* modulus (hex) */
 517                 switch (in_type) {
 518                 case QTYPE_SOPHIE_GERMAIN:
 519                         debug2("%10u: (%u) Sophie-Germain", count_in, in_type);
 520                         a = q;
 521                         BN_hex2bn(&a, cp);
 522                         /* p = 2*q + 1 */
 523                         BN_lshift(p, q, 1);
 524                         BN_add_word(p, 1);
 525                         in_size += 1;
 526                         generator_known = 0;
 527                         break;
 528                 case QTYPE_UNSTRUCTURED:
 529                 case QTYPE_SAFE:
 530                 case QTYPE_SCHNORR:
 531                 case QTYPE_STRONG:
 532                 case QTYPE_UNKNOWN:
 533                         debug2("%10u: (%u)", count_in, in_type);
 534                         a = p;
 535                         BN_hex2bn(&a, cp);
 536                         /* q = (p-1) / 2 */
 537                         BN_rshift(q, p, 1);
 538                         break;
 539                 default:
 540                         debug2("Unknown prime type");
 541                         break;
 542                 }
 543
 544                 /*
 545                  * due to earlier inconsistencies in interpretation, check
 546                  * the proposed bit size.
 547                  */
 548                 if ((u_int32_t)BN_num_bits(p) != (in_size + 1)) {
 549                         debug2("%10u: bit size %u mismatch", count_in, in_size);
 550                         continue;
 551                 }
 552                 if (in_size < QSIZE_MINIMUM) {
 553                         debug2("%10u: bit size %u too short", count_in, in_size);
 554                         continue;
 555                 }
 556
 557                 if (in_tests & QTEST_MILLER_RABIN)
 558                         in_tries += trials;
 559                 else
 560                         in_tries = trials;
 561
 562                 /*
 563                  * guess unknown generator
 564                  */
 565                 if (generator_known == 0) {
 566                         if (BN_mod_word(p, 24) == 11)
 567                                 generator_known = 2;
 568                         else if (BN_mod_word(p, 12) == 5)
 569                                 generator_known = 3;
 570                         else {
 571                                 u_int32_t r = BN_mod_word(p, 10);
 572
 573                                 if (r == 3 || r == 7)
 574                                         generator_known = 5;
 575                         }
 576                 }
 577                 /*
 578                  * skip tests when desired generator doesn't match
 579                  */
 580                 if (generator_wanted > 0 &&
 581                     generator_wanted != generator_known) {
 582                         debug2("%10u: generator %d != %d",
 583                             count_in, generator_known, generator_wanted);
 584                         continue;
 585                 }
 586
 587                 /*
 588                  * Primes with no known generator are useless for DH, so
 589                  * skip those.
 590                  */
 591                 if (generator_known == 0) {
 592                         debug2("%10u: no known generator", count_in);
 593                         continue;
 594                 }
 595
 596                 count_possible++;
 597
 598                 /*
 599                  * The (1/4)^N performance bound on Miller-Rabin is
 600                  * extremely pessimistic, so don't spend a lot of time
 601                  * really verifying that q is prime until after we know
 602                  * that p is also prime. A single pass will weed out the
 603                  * vast majority of composite q's.
 604                  */
 605                 if (BN_is_prime(q, 1, NULL, ctx, NULL) <= 0) {
 606                         debug("%10u: q failed first possible prime test",
 607                             count_in);
 608                         continue;
 609                 }
 610
 611                 /*
 612                  * q is possibly prime, so go ahead and really make sure
 613                  * that p is prime. If it is, then we can go back and do
 614                  * the same for q. If p is composite, chances are that
 615                  * will show up on the first Rabin-Miller iteration so it
 616                  * doesn't hurt to specify a high iteration count.
 617                  */
 618                 if (!BN_is_prime(p, trials, NULL, ctx, NULL)) {
 619                         debug("%10u: p is not prime", count_in);
 620                         continue;
 621                 }
 622                 debug("%10u: p is almost certainly prime", count_in);
 623
 624                 /* recheck q more rigorously */
 625                 if (!BN_is_prime(q, trials - 1, NULL, ctx, NULL)) {
 626                         debug("%10u: q is not prime", count_in);
 627                         continue;
 628                 }
 629                 debug("%10u: q is almost certainly prime", count_in);
 630
 631                 if (qfileout(out, QTYPE_SAFE, (in_tests | QTEST_MILLER_RABIN),
 632                     in_tries, in_size, generator_known, p)) {
 633                         res = -1;
 634                         break;
 635                 }
 636
 637                 count_out++;
 638         }
 639
 640         time(&time_stop);
 641         xfree(lp);
 642         BN_free(p);
 643         BN_free(q);
 644         BN_CTX_free(ctx);
 645
 646         logit("%.24s Found %u safe primes of %u candidates in %ld seconds",
 647             ctime(&time_stop), count_out, count_possible,
 648             (long) (time_stop - time_start));
 649
 650         return (res);
 651 }