moduli.c

   1 /* $OpenBSD: moduli.c,v 1.7 2004/05/09 00:06:47 djm Exp $ */
   2 /*
   3  * Copyright 1994 Phil Karn <karn@qualcomm.com>
   4  * Copyright 1996-1998, 2003 William Allen Simpson <wsimpson@greendragon.com>
   5  * Copyright 2000 Niels Provos <provos@citi.umich.edu>
   6  * All rights reserved.
   7  *
   8  * Redistribution and use in source and binary forms, with or without
   9  * modification, are permitted provided that the following conditions
  10  * are met:
  11  * 1. Redistributions of source code must retain the above copyright
  12  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer.
  13  * 2. Redistributions in binary form must reproduce the above copyright
  14  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer in the
  15  *    documentation and/or other materials provided with the distribution.
  16  *
  17  * THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE AUTHOR ``AS IS'' AND ANY EXPRESS OR
  18  * IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES
  19  * OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED.
  20  * IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT,
  21  * INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT
  22  * NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE,
  23  * DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY
  24  * THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
  25  * (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF
  26  * THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
  27  */
  28
  29 /*
  30  * Two-step process to generate safe primes for DHGEX
  31  *
  32  *  Sieve candidates for "safe" primes,
  33  *  suitable for use as Diffie-Hellman moduli;
  34  *  that is, where q = (p-1)/2 is also prime.
  35  *
  36  * First step: generate candidate primes (memory intensive)
  37  * Second step: test primes' safety (processor intensive)
  38  */
  39
  40 #include "includes.h"
  41 #include "xmalloc.h"
  42 #include "log.h"
  43
  44 #include <openssl/bn.h>
  45
  46 /*
  47  * File output defines
  48  */
  49
  50 /* need line long enough for largest moduli plus headers */
  51 #define QLINESIZE               (100+8192)
  52
  53 /* Type: decimal.
  54  * Specifies the internal structure of the prime modulus.
  55  */
  56 #define QTYPE_UNKNOWN           (0)
  57 #define QTYPE_UNSTRUCTURED      (1)
  58 #define QTYPE_SAFE              (2)
  59 #define QTYPE_SCHNOOR           (3)
  60 #define QTYPE_SOPHIE_GERMAIN    (4)
  61 #define QTYPE_STRONG            (5)
  62
  63 /* Tests: decimal (bit field).
  64  * Specifies the methods used in checking for primality.
  65  * Usually, more than one test is used.
  66  */
  67 #define QTEST_UNTESTED          (0x00)
  68 #define QTEST_COMPOSITE         (0x01)
  69 #define QTEST_SIEVE             (0x02)
  70 #define QTEST_MILLER_RABIN      (0x04)
  71 #define QTEST_JACOBI            (0x08)
  72 #define QTEST_ELLIPTIC          (0x10)
  73
  74 /*
  75  * Size: decimal.
  76  * Specifies the number of the most significant bit (0 to M).
  77  * WARNING: internally, usually 1 to N.
  78  */
  79 #define QSIZE_MINIMUM           (511)
  80
  81 /*
  82  * Prime sieving defines
  83  */
  84
  85 /* Constant: assuming 8 bit bytes and 32 bit words */
  86 #define SHIFT_BIT       (3)
  87 #define SHIFT_BYTE      (2)
  88 #define SHIFT_WORD      (SHIFT_BIT+SHIFT_BYTE)
  89 #define SHIFT_MEGABYTE  (20)
  90 #define SHIFT_MEGAWORD  (SHIFT_MEGABYTE-SHIFT_BYTE)
  91
  92 /*
  93  * Using virtual memory can cause thrashing.  This should be the largest
  94  * number that is supported without a large amount of disk activity --
  95  * that would increase the run time from hours to days or weeks!
  96  */
  97 #define LARGE_MINIMUM   (8UL)   /* megabytes */
  98
  99 /*
 100  * Do not increase this number beyond the unsigned integer bit size.
 101  * Due to a multiple of 4, it must be LESS than 128 (yielding 2**30 bits).
 102  */
 103 #define LARGE_MAXIMUM   (127UL) /* megabytes */
 104
 105 /*
 106  * Constant: when used with 32-bit integers, the largest sieve prime
 107  * has to be less than 2**32.
 108  */
 109 #define SMALL_MAXIMUM   (0xffffffffUL)
 110
 111 /* Constant: can sieve all primes less than 2**32, as 65537**2 > 2**32-1. */
 112 #define TINY_NUMBER     (1UL<<16)
 113
 114 /* Ensure enough bit space for testing 2*q. */
 115 #define TEST_MAXIMUM    (1UL<<16)
 116 #define TEST_MINIMUM    (QSIZE_MINIMUM + 1)
 117 /* real TEST_MINIMUM    (1UL << (SHIFT_WORD - TEST_POWER)) */
 118 #define TEST_POWER      (3)     /* 2**n, n < SHIFT_WORD */
 119
 120 /* bit operations on 32-bit words */
 121 #define BIT_CLEAR(a,n)  ((a)[(n)>>SHIFT_WORD] &= ~(1L << ((n) & 31)))
 122 #define BIT_SET(a,n)    ((a)[(n)>>SHIFT_WORD] |= (1L << ((n) & 31)))
 123 #define BIT_TEST(a,n)   ((a)[(n)>>SHIFT_WORD] & (1L << ((n) & 31)))
 124
 125 /*
 126  * Prime testing defines
 127  */
 128
 129 /* Minimum number of primality tests to perform */
 130 #define TRIAL_MINIMUM           (4)
 131
 132 /*
 133  * Sieving data (XXX - move to struct)
 134  */
 135
 136 /* sieve 2**16 */
 137 static u_int32_t *TinySieve, tinybits;
 138
 139 /* sieve 2**30 in 2**16 parts */
 140 static u_int32_t *SmallSieve, smallbits, smallbase;
 141
 142 /* sieve relative to the initial value */
 143 static u_int32_t *LargeSieve, largewords, largetries, largenumbers;
 144 static u_int32_t largebits, largememory;        /* megabytes */
 145 static BIGNUM *largebase;
 146
 147
 148 /*
 149  * print moduli out in consistent form,
 150  */
 151 static int
 152 qfileout(FILE * ofile, u_int32_t otype, u_int32_t otests, u_int32_t otries,
 153     u_int32_t osize, u_int32_t ogenerator, BIGNUM * omodulus)
 154 {
 155         struct tm *gtm;
 156         time_t time_now;
 157         int res;
 158
 159         time(&time_now);
 160         gtm = gmtime(&time_now);
 161
 162         res = fprintf(ofile, "%04d%02d%02d%02d%02d%02d %u %u %u %u %x ",
 163             gtm->tm_year + 1900, gtm->tm_mon + 1, gtm->tm_mday,
 164             gtm->tm_hour, gtm->tm_min, gtm->tm_sec,
 165             otype, otests, otries, osize, ogenerator);
 166
 167         if (res < 0)
 168                 return (-1);
 169
 170         if (BN_print_fp(ofile, omodulus) < 1)
 171                 return (-1);
 172
 173         res = fprintf(ofile, "\n");
 174         fflush(ofile);
 175
 176         return (res > 0 ? 0 : -1);
 177 }
 178
 179
 180 /*
 181  ** Sieve p's and q's with small factors
 182  */
 183 static void
 184 sieve_large(u_int32_t s)
 185 {
 186         u_int32_t r, u;
 187
 188         debug3("sieve_large %u", s);
 189         largetries++;
 190         /* r = largebase mod s */
 191         r = BN_mod_word(largebase, s);
 192         if (r == 0)
 193                 u = 0; /* s divides into largebase exactly */
 194         else
 195                 u = s - r; /* largebase+u is first entry divisible by s */
 196
 197         if (u < largebits * 2) {
 198                 /*
 199                  * The sieve omits p's and q's divisible by 2, so ensure that
 200                  * largebase+u is odd. Then, step through the sieve in
 201                  * increments of 2*s
 202                  */
 203                 if (u & 0x1)
 204                         u += s; /* Make largebase+u odd, and u even */
 205
 206                 /* Mark all multiples of 2*s */
 207                 for (u /= 2; u < largebits; u += s)
 208                         BIT_SET(LargeSieve, u);
 209         }
 210
 211         /* r = p mod s */
 212         r = (2 * r + 1) % s;
 213         if (r == 0)
 214                 u = 0; /* s divides p exactly */
 215         else
 216                 u = s - r; /* p+u is first entry divisible by s */
 217
 218         if (u < largebits * 4) {
 219                 /*
 220                  * The sieve omits p's divisible by 4, so ensure that
 221                  * largebase+u is not. Then, step through the sieve in
 222                  * increments of 4*s
 223                  */
 224                 while (u & 0x3) {
 225                         if (SMALL_MAXIMUM - u < s)
 226                                 return;
 227                         u += s;
 228                 }
 229
 230                 /* Mark all multiples of 4*s */
 231                 for (u /= 4; u < largebits; u += s)
 232                         BIT_SET(LargeSieve, u);
 233         }
 234 }
 235
 236 /*
 237  * list candidates for Sophie-Germain primes (where q = (p-1)/2)
 238  * to standard output.
 239  * The list is checked against small known primes (less than 2**30).
 240  */
 241 int
 242 gen_candidates(FILE *out, int memory, int power, BIGNUM *start)
 243 {
 244         BIGNUM *q;
 245         u_int32_t j, r, s, t;
 246         u_int32_t smallwords = TINY_NUMBER >> 6;
 247         u_int32_t tinywords = TINY_NUMBER >> 6;
 248         time_t time_start, time_stop;
 249         int i, ret = 0;
 250
 251         largememory = memory;
 252
 253         if (memory != 0 &&
 254            (memory < LARGE_MINIMUM || memory > LARGE_MAXIMUM)) {
 255                 error("Invalid memory amount (min %ld, max %ld)",
 256                     LARGE_MINIMUM, LARGE_MAXIMUM);
 257                 return (-1);
 258         }
 259
 260         /*
 261          * Set power to the length in bits of the prime to be generated.
 262          * This is changed to 1 less than the desired safe prime moduli p.
 263          */
 264         if (power > TEST_MAXIMUM) {
 265                 error("Too many bits: %u > %lu", power, TEST_MAXIMUM);
 266                 return (-1);
 267         } else if (power < TEST_MINIMUM) {
 268                 error("Too few bits: %u < %u", power, TEST_MINIMUM);
 269                 return (-1);
 270         }
 271         power--; /* decrement before squaring */
 272
 273         /*
 274          * The density of ordinary primes is on the order of 1/bits, so the
 275          * density of safe primes should be about (1/bits)**2. Set test range
 276          * to something well above bits**2 to be reasonably sure (but not
 277          * guaranteed) of catching at least one safe prime.
 278          */
 279         largewords = ((power * power) >> (SHIFT_WORD - TEST_POWER));
 280
 281         /*
 282          * Need idea of how much memory is available. We don't have to use all
 283          * of it.
 284          */
 285         if (largememory > LARGE_MAXIMUM) {
 286                 logit("Limited memory: %u MB; limit %lu MB",
 287                     largememory, LARGE_MAXIMUM);
 288                 largememory = LARGE_MAXIMUM;
 289         }
 290
 291         if (largewords <= (largememory << SHIFT_MEGAWORD)) {
 292                 logit("Increased memory: %u MB; need %u bytes",
 293                     largememory, (largewords << SHIFT_BYTE));
 294                 largewords = (largememory << SHIFT_MEGAWORD);
 295         } else if (largememory > 0) {
 296                 logit("Decreased memory: %u MB; want %u bytes",
 297                     largememory, (largewords << SHIFT_BYTE));
 298                 largewords = (largememory << SHIFT_MEGAWORD);
 299         }
 300
 301         TinySieve = calloc(tinywords, sizeof(u_int32_t));
 302         if (TinySieve == NULL) {
 303                 error("Insufficient memory for tiny sieve: need %u bytes",
 304                     tinywords << SHIFT_BYTE);
 305                 exit(1);
 306         }
 307         tinybits = tinywords << SHIFT_WORD;
 308
 309         SmallSieve = calloc(smallwords, sizeof(u_int32_t));
 310         if (SmallSieve == NULL) {
 311                 error("Insufficient memory for small sieve: need %u bytes",
 312                     smallwords << SHIFT_BYTE);
 313                 xfree(TinySieve);
 314                 exit(1);
 315         }
 316         smallbits = smallwords << SHIFT_WORD;
 317
 318         /*
 319          * dynamically determine available memory
 320          */
 321         while ((LargeSieve = calloc(largewords, sizeof(u_int32_t))) == NULL)
 322                 largewords -= (1L << (SHIFT_MEGAWORD - 2)); /* 1/4 MB chunks */
 323
 324         largebits = largewords << SHIFT_WORD;
 325         largenumbers = largebits * 2;   /* even numbers excluded */
 326
 327         /* validation check: count the number of primes tried */
 328         largetries = 0;
 329         q = BN_new();
 330
 331         /*
 332          * Generate random starting point for subprime search, or use
 333          * specified parameter.
 334          */
 335         largebase = BN_new();
 336         if (start == NULL)
 337                 BN_rand(largebase, power, 1, 1);
 338         else
 339                 BN_copy(largebase, start);
 340
 341         /* ensure odd */
 342         BN_set_bit(largebase, 0);
 343
 344         time(&time_start);
 345
 346         logit("%.24s Sieve next %u plus %u-bit", ctime(&time_start),
 347             largenumbers, power);
 348         debug2("start point: 0x%s", BN_bn2hex(largebase));
 349
 350         /*
 351          * TinySieve
 352          */
 353         for (i = 0; i < tinybits; i++) {
 354                 if (BIT_TEST(TinySieve, i))
 355                         continue; /* 2*i+3 is composite */
 356
 357                 /* The next tiny prime */
 358                 t = 2 * i + 3;
 359
 360                 /* Mark all multiples of t */
 361                 for (j = i + t; j < tinybits; j += t)
 362                         BIT_SET(TinySieve, j);
 363
 364                 sieve_large(t);
 365         }
 366
 367         /*
 368          * Start the small block search at the next possible prime. To avoid
 369          * fencepost errors, the last pass is skipped.
 370          */
 371         for (smallbase = TINY_NUMBER + 3;
 372              smallbase < (SMALL_MAXIMUM - TINY_NUMBER);
 373              smallbase += TINY_NUMBER) {
 374                 for (i = 0; i < tinybits; i++) {
 375                         if (BIT_TEST(TinySieve, i))
 376                                 continue; /* 2*i+3 is composite */
 377
 378                         /* The next tiny prime */
 379                         t = 2 * i + 3;
 380                         r = smallbase % t;
 381
 382                         if (r == 0) {
 383                                 s = 0; /* t divides into smallbase exactly */
 384                         } else {
 385                                 /* smallbase+s is first entry divisible by t */
 386                                 s = t - r;
 387                         }
 388
 389                         /*
 390                          * The sieve omits even numbers, so ensure that
 391                          * smallbase+s is odd. Then, step through the sieve
 392                          * in increments of 2*t
 393                          */
 394                         if (s & 1)
 395                                 s += t; /* Make smallbase+s odd, and s even */
 396
 397                         /* Mark all multiples of 2*t */
 398                         for (s /= 2; s < smallbits; s += t)
 399                                 BIT_SET(SmallSieve, s);
 400                 }
 401
 402                 /*
 403                  * SmallSieve
 404                  */
 405                 for (i = 0; i < smallbits; i++) {
 406                         if (BIT_TEST(SmallSieve, i))
 407                                 continue; /* 2*i+smallbase is composite */
 408
 409                         /* The next small prime */
 410                         sieve_large((2 * i) + smallbase);
 411                 }
 412
 413                 memset(SmallSieve, 0, smallwords << SHIFT_BYTE);
 414         }
 415
 416         time(&time_stop);
 417
 418         logit("%.24s Sieved with %u small primes in %ld seconds",
 419             ctime(&time_stop), largetries, (long) (time_stop - time_start));
 420
 421         for (j = r = 0; j < largebits; j++) {
 422                 if (BIT_TEST(LargeSieve, j))
 423                         continue; /* Definitely composite, skip */
 424
 425                 debug2("test q = largebase+%u", 2 * j);
 426                 BN_set_word(q, 2 * j);
 427                 BN_add(q, q, largebase);
 428                 if (qfileout(out, QTYPE_SOPHIE_GERMAIN, QTEST_SIEVE,
 429                     largetries, (power - 1) /* MSB */, (0), q) == -1) {
 430                         ret = -1;
 431                         break;
 432                 }
 433
 434                 r++; /* count q */
 435         }
 436
 437         time(&time_stop);
 438
 439         xfree(LargeSieve);
 440         xfree(SmallSieve);
 441         xfree(TinySieve);
 442
 443         logit("%.24s Found %u candidates", ctime(&time_stop), r);
 444
 445         return (ret);
 446 }
 447
 448 /*
 449  * perform a Miller-Rabin primality test
 450  * on the list of candidates
 451  * (checking both q and p)
 452  * The result is a list of so-call "safe" primes
 453  */
 454 int
 455 prime_test(FILE *in, FILE *out, u_int32_t trials, u_int32_t generator_wanted)
 456 {
 457         BIGNUM *q, *p, *a;
 458         BN_CTX *ctx;
 459         char *cp, *lp;
 460         u_int32_t count_in = 0, count_out = 0, count_possible = 0;
 461         u_int32_t generator_known, in_tests, in_tries, in_type, in_size;
 462         time_t time_start, time_stop;
 463         int res;
 464
 465         if (trials < TRIAL_MINIMUM) {
 466                 error("Minimum primality trials is %d", TRIAL_MINIMUM);
 467                 return (-1);
 468         }
 469
 470         time(&time_start);
 471
 472         p = BN_new();
 473         q = BN_new();
 474         ctx = BN_CTX_new();
 475
 476         debug2("%.24s Final %u Miller-Rabin trials (%x generator)",
 477             ctime(&time_start), trials, generator_wanted);
 478
 479         res = 0;
 480         lp = xmalloc(QLINESIZE + 1);
 481         while (fgets(lp, QLINESIZE, in) != NULL) {
 482                 int ll = strlen(lp);
 483
 484                 count_in++;
 485                 if (ll < 14 || *lp == '!' || *lp == '#') {
 486                         debug2("%10u: comment or short line", count_in);
 487                         continue;
 488                 }
 489
 490                 /* XXX - fragile parser */
 491                 /* time */
 492                 cp = &lp[14];   /* (skip) */
 493
 494                 /* type */
 495                 in_type = strtoul(cp, &cp, 10);
 496
 497                 /* tests */
 498                 in_tests = strtoul(cp, &cp, 10);
 499
 500                 if (in_tests & QTEST_COMPOSITE) {
 501                         debug2("%10u: known composite", count_in);
 502                         continue;
 503                 }
 504
 505                 /* tries */
 506                 in_tries = strtoul(cp, &cp, 10);
 507
 508                 /* size (most significant bit) */
 509                 in_size = strtoul(cp, &cp, 10);
 510
 511                 /* generator (hex) */
 512                 generator_known = strtoul(cp, &cp, 16);
 513
 514                 /* Skip white space */
 515                 cp += strspn(cp, " ");
 516
 517                 /* modulus (hex) */
 518                 switch (in_type) {
 519                 case QTYPE_SOPHIE_GERMAIN:
 520                         debug2("%10u: (%u) Sophie-Germain", count_in, in_type);
 521                         a = q;
 522                         BN_hex2bn(&a, cp);
 523                         /* p = 2*q + 1 */
 524                         BN_lshift(p, q, 1);
 525                         BN_add_word(p, 1);
 526                         in_size += 1;
 527                         generator_known = 0;
 528                         break;
 529                 case QTYPE_UNSTRUCTURED:
 530                 case QTYPE_SAFE:
 531                 case QTYPE_SCHNOOR:
 532                 case QTYPE_STRONG:
 533                 case QTYPE_UNKNOWN:
 534                         debug2("%10u: (%u)", count_in, in_type);
 535                         a = p;
 536                         BN_hex2bn(&a, cp);
 537                         /* q = (p-1) / 2 */
 538                         BN_rshift(q, p, 1);
 539                         break;
 540                 default:
 541                         debug2("Unknown prime type");
 542                         break;
 543                 }
 544
 545                 /*
 546                  * due to earlier inconsistencies in interpretation, check
 547                  * the proposed bit size.
 548                  */
 549                 if (BN_num_bits(p) != (in_size + 1)) {
 550                         debug2("%10u: bit size %u mismatch", count_in, in_size);
 551                         continue;
 552                 }
 553                 if (in_size < QSIZE_MINIMUM) {
 554                         debug2("%10u: bit size %u too short", count_in, in_size);
 555                         continue;
 556                 }
 557
 558                 if (in_tests & QTEST_MILLER_RABIN)
 559                         in_tries += trials;
 560                 else
 561                         in_tries = trials;
 562
 563                 /*
 564                  * guess unknown generator
 565                  */
 566                 if (generator_known == 0) {
 567                         if (BN_mod_word(p, 24) == 11)
 568                                 generator_known = 2;
 569                         else if (BN_mod_word(p, 12) == 5)
 570                                 generator_known = 3;
 571                         else {
 572                                 u_int32_t r = BN_mod_word(p, 10);
 573
 574                                 if (r == 3 || r == 7)
 575                                         generator_known = 5;
 576                         }
 577                 }
 578                 /*
 579                  * skip tests when desired generator doesn't match
 580                  */
 581                 if (generator_wanted > 0 &&
 582                     generator_wanted != generator_known) {
 583                         debug2("%10u: generator %d != %d",
 584                             count_in, generator_known, generator_wanted);
 585                         continue;
 586                 }
 587
 588                 /*
 589                  * Primes with no known generator are useless for DH, so
 590                  * skip those.
 591                  */
 592                 if (generator_known == 0) {
 593                         debug2("%10u: no known generator", count_in);
 594                         continue;
 595                 }
 596
 597                 count_possible++;
 598
 599                 /*
 600                  * The (1/4)^N performance bound on Miller-Rabin is
 601                  * extremely pessimistic, so don't spend a lot of time
 602                  * really verifying that q is prime until after we know
 603                  * that p is also prime. A single pass will weed out the
 604                  * vast majority of composite q's.
 605                  */
 606                 if (BN_is_prime(q, 1, NULL, ctx, NULL) <= 0) {
 607                         debug("%10u: q failed first possible prime test",
 608                             count_in);
 609                         continue;
 610                 }
 611
 612                 /*
 613                  * q is possibly prime, so go ahead and really make sure
 614                  * that p is prime. If it is, then we can go back and do
 615                  * the same for q. If p is composite, chances are that
 616                  * will show up on the first Rabin-Miller iteration so it
 617                  * doesn't hurt to specify a high iteration count.
 618                  */
 619                 if (!BN_is_prime(p, trials, NULL, ctx, NULL)) {
 620                         debug("%10u: p is not prime", count_in);
 621                         continue;
 622                 }
 623                 debug("%10u: p is almost certainly prime", count_in);
 624
 625                 /* recheck q more rigorously */
 626                 if (!BN_is_prime(q, trials - 1, NULL, ctx, NULL)) {
 627                         debug("%10u: q is not prime", count_in);
 628                         continue;
 629                 }
 630                 debug("%10u: q is almost certainly prime", count_in);
 631
 632                 if (qfileout(out, QTYPE_SAFE, (in_tests | QTEST_MILLER_RABIN),
 633                     in_tries, in_size, generator_known, p)) {
 634                         res = -1;
 635                         break;
 636                 }
 637
 638                 count_out++;
 639         }
 640
 641         time(&time_stop);
 642         xfree(lp);
 643         BN_free(p);
 644         BN_free(q);
 645         BN_CTX_free(ctx);
 646
 647         logit("%.24s Found %u safe primes of %u candidates in %ld seconds",
 648             ctime(&time_stop), count_out, count_possible,
 649             (long) (time_stop - time_start));
 650
 651         return (res);
 652 }